Intégrales de Wallis

Pour tout entier naturel \(n\) , on pose \(w_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}(\cos x)^n\mbox{d}x}\) , que l'on peut écrire plus simplement \(w_{n}={\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\mbox{d}x}\) .

1. Calculer \(w_0\)  et \(w_1\) .

2. a. Montrer que la suite  \(\left(w_{n}\right)\)  est décroissante.

    b. Montrer que, pour tout entier naturel  \(n\) , on a \(w_{n}\geqslant0\) . Que peut-on en déduire ?

3. Soit \(n\in\mathbb{N}\) .
    a. À l'aide d'une intégration par parties, montrer que  \(w_{n+2}=(n+1){\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}x\sin^{2}x\mbox{d}x}\) .
    b. En déduire que \(w_{n+2}=\dfrac{n+1}{n+2}w_{n}\) .
    c. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(w_{2n}=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}\)  et \(w_{2n+1}=\dfrac{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}{(2n+1)!}\) .